1. 欧式几何图片，非欧几何公理？
欧几里德的《几何原本》,一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义,5个公设,5个公理.其实他说的公社就是我们后来所说的公理,他的公理是一些计算和证明用到的方法（如公理1：等于同一个量的量相等,公理5：整体大于局部等）他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的,也就是后来我们教科书中的公理.分别是：
公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线
公设2：一条有限线段可以继续延长
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4：凡直角都彼此相等
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交.
在这五个公设理里,欧几里德并没有幼稚地假定定义的存在和彼此相容.亚里士多德就指出,头三个公设说的是可以构造线和圆,所以他是对两件东西顿在性的声明.事实上欧几里德用这种构造法证明很多命题.第五个公设非常罗嗦,没有前四个简洁好懂.声明的也不是存在的东西,而是欧几里德自己想的东西.这就足以说明他的天才.从欧几里德提出这个公理到1800年这大约2100年的时间里虽然人们没有怀疑整个体系的正确性,但是对这个第五公设却一直耿耿于怀.很多数学家想把这个公设从这个体系中去掉,但是几经努力而无果,无法从其他公设中推到处第五公设.
同时数学家们也注意到了这个公设既是对平行概念的论述（故称之为平行公理）也是对三角形内角和的论述（即内角和公理）.高斯对这一点是非常明白的,他认为欧几里德几何式物质空间的几何,1799年他说给他的朋友的一封信中表现了他相信平行公里不能从其他的公设中推导出来,他开始认真从事开发一个新的能够应用的几何.1813年,发展了他几何,最初称为反欧氏几何,后称星空几何,最后称非欧几何.在他的几何中三角形内角可以大于180度.当然得到这样的几何不是高斯一人,历史上有三个人.一个是他的搭档,另一个是高斯的朋友的儿子独立发现的.其中一个有趣的问题是,非欧氏几何中过直线外一点的平行线可以无穷.
不久之后,俄国的一位著名数学家也发现了一个新的非欧几何,即罗氏几何.他的三角形内角和是小于180度的.
而19世纪初非欧式几何的发现,正是后来爱因斯坦发现广义相对论的基础.
2. 有什么类似几何原本的数学名著？
古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。在《原本》里，欧几里德系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。
3. 欧式几何与非欧几何的不同处是什么？
几何学是建立在一系列假设之上的，这些用来推演其他定理的、最基本的假设被称作“公理”。欧式几何与非欧几何最本质的区别在于平行公理的不同。欧式几何认为平行线永不相交，非欧几何则认为平行线必然相交。需要指出，非欧几何并非一种。如果认为平行线只相交于一点，那产生一种非欧几何；如果认为平行线至少相交于一个点，那将产生另一种非欧几何。
可见，即使在数学这样严格的学问中，我们的想象力（而非洞察力），也仍然有最大的发挥余地。
4. 两条平行线如何相交？
感谢邀请。两条平行线在2.5维度是可以相交的。
两条平行线是一个平面，任意做一个垂直于两条平行线并垂直于两平行线所在平面的平面。这个垂直平面将空间分成两部分。
其中一边的空间不动，另外一个空间绕着两条平行线的中心线旋转。
我们定义：每旋转一度旋转的空间上的'直线投射一毫米至两平行线所在的平面。直至两条投影重合。
然后将一度和对应的一毫米进行微分一半，即半度和半毫米，之后边旋转边进行投影。
如此反复微分至点。可以在原两条平行线的垂影上看见平行线相交。
注明：2.5维中这两条线在原平面的垂影已经不是直线。但在三维中和二维中都还是不相交的平行线，在2.5维中由于旋转和垂影它们已经成为交线。就像我用眼睛看见旋转前是平行线，旋转后是一条线一样。通过微积分只是投影了旋转，使得平行线弯曲形成交点。
备注：当然自我的定义是可以改的，当两平行线间距为90毫米时，波动是个圆。
5. 向量如何正交化？
有个简便方法。
施密特是一个可以给n个线性无关的向量正交化的方法。但是在实际考试中我们肯定用不到那么多个，一般n＝3.
比如在题目当中有3个线性无关的向量，那么就可以使用方程组来实现正交化。
例1. 如果三个向量已经有两个正交：step 1. 先找到三个线性无关的向量已经正交的两个向量，组成一个三阶矩阵A.很明显r（A）=2step 2. 再建立其次方程组Ax=0， 解这个方程组，得到的向量与原来两个向量组成三个互相正交的向量。例2. 如果三个向量互不正交:step1.取这三个向量中任意一个向量g，组成三阶矩阵A，明显A秩为1.step2.解方程Ax＝0得两个通解，a1和a2，使a1单位化，令a2与a1正交化，得特解b1和b2, 则g、a1、a2三者组成三个互相正交的向量。从考试的角度看，用方程组来实现正交化，不用背公式，计算量也少，值得参考。
6. 什么叫做凹三角形？
这是很有深意的问题.很佩服你的思考数学来自生活,非欧几何里面都是三角形180度的内角和；但欧式几何里面凸面大于凹面小于,初中几何讲点线面体的时候我们知道,面无薄厚,所以楼主思考反过来凸就是凹,凹就是凸.但数学是抽象的,在曲面里面三角形已经不是原来的三角形,曲面的线段在空间几何里是曲线,如何度量角度是特殊规定的；
一种解释考虑曲线的弯曲方向,相对观察者,曲面是凸面曲线向外弯曲,也就是弯向我们,凹面是向内弯,远离我们.有人有物理凸透镜和凹透镜来对比解释,这里体现了“相对”的思想.
7. 应该如何去思考和分析？
我是中考数学当百荟，从事数学教学三十多年。
针对题主的提问，先厘清一个认识上的误区，再结合具体例子谈如何思考和分析。
一。一个误区类似问题，在实际工作中，经常有学生和家长问：老师，我（家小孩）不怕几何证明，就怕作辅助线，是怎么回事？
就像一个学美术的人说，我不怕画人体，就是怕画眼睛。
如果把辅助线孤立于具体问题之外，就会以为辅助线是活生生硬作出来的，这是初学者容易产生的认识误区。
在实际教学中，没有哪个老师会孤立地教学生作辅助线。因为辅助线就是“一条线”，画一条线，没有什么难的。况且从本质上说，辅助线本身是客观存在的，画不画它都在，一直在那。只不过在画出来之前，它是隐性的，不可见而已。由隐性变显性，是要有数学思维参与的，是一系列的心理活动。
可见辅助线的问题，重点不在如何画？而在于为什么要这么画？因而，学会具体问题具体分析，理解产生问题的原因，找到解决问题的办法，才是学习的正道。从这个角度来说，辅助线不是作出来的，而是分析出来的！
二。一个例子举一个大家熟悉的例子吧！
勾股定理的证明。历史上关于勾股定理的证明方法有近五百种之多，这些方法都堪称经典。我们以欧式几何的鼻祖，欧几里得的证明方法为例，来分析其策略和思路，学习他解决问题的机智！
---图1---
如上图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，求证：AC^2+BC^2=AB^2.
欧几里得证明的主要思路分三步：
第一步，从勾股定理结论的结构分析，边的平方，边的平方和。
边的平方，让人很容易联想到正方形的面积；边的平方和，自然就是两个正方形的面积之和。因而，把勾股定理进一步具象化（如图）：两个正方形的面积之和，等于另一个正方形的面积。
看下图2用颜色表示，即：黄+红=绿。
---图2---
在这一过程中，把边的平方具象为正方形，由数（边的平方）到形（正方形），好像只是一小步转换，其实是认识上的一大步（数形结合）！当然，对于本问题来说，这还只是万里长征的第一步。如果仅从添加辅助线的角度来看，这一步要添加三三得九，九条辅助线，才能把“三边”扩充为“三个正方形”。
勾股定理的近500种证法，大多数都是沿用这条思路：先将勾股定理的结论转化为三个正方形的面积之间的关系，再对其中的两个较小的正方形进行分割，使之“填满”较大的正方形，反之亦然。只不过这些方法采用的“分割”和“填充”的方式、方法不同。表面看起来是一种巧合，其实是一种必然。
第二步，落实“分割“的具体想法。
---图3---
如上图3，将大正方形沿直角三角形斜边上的高CD所在直线，分割成两个矩形（黄，红）；用颜色相对应，只要说明颜色相同的正方形和矩形面积相等，就说明大正方形（图2的绿色）刚好被两个较小的正方形（黄，红）“填满”；第三步，落实“填充“的具体想法。
---图4---
以说明黄色正方形与黄色矩形面积相等为例。
如图4，进一步将黄色正方形与黄色矩形分割成二等分（连对角线A1C,AD1）,只需说明它们的一半（蓝色三角形,△A1AC与△AA2D1）面积相等即可；
如图5，进而只需证明两个黑色的三角形（△A1AB与△CAA2）全等（SAS可判）即可；
---图5---
因为图5中的两个黑色三角形与图4中两个蓝色三角形分别为夹在两组平行线（BC1//AA1,CD1//AA2）之间，且同底等高，其面积分别相等。
至此，思路打通！
其主要逻辑链条：黑色三角形全等=》黑色三角形等面积
=》蓝色三角形等面积=》黄色正方形与矩形等面积。
采取同样的策略，可以证明红色正方形与红色矩形面积相等。
三。一点反思从以上的举例可以看出：
1.仅仅从添加辅助线的角度来说，由最开始的一个直角三角形（图1）演变成图6所示的超级复杂的图形，不知添加了多少条线！如果不经过分析明细思路，这些“线”是不可能现出原形的。欧几里得的这种证明方法，迄今已经2000多年，即便在今天，在此时，我们如果不能明白其证明思路，这些辅助线看起来也只能是一团乱麻。
---图6---
所以，既然是辅助线，必然是其辅助作用，在证明过程中是联通条件与结论的桥梁。它不能游离于具体问题之外，也不是凭空产生的，必然来源于具体问题具体分析。
2.在几何证明过程中，添加辅助线本身就是证明过程的一部分。是作平行线还是垂线，是平移还是旋转，添加什么样的“线”，何时添加，这取决于分析问题的能力。所以，与其纠结辅助线的作法，不如回过头来，夯实基本功，多做题，善分析，勤总结。这才是学习几何证明的正道。
